Билет №26. 1. Производная 2. Упростите выражение a+b / a³-b³ - 1 / a²-a³b³+b² 3. Объем пирамиды

Упрощение выражения:

Выражение имеет вид:

\[ \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a^3 - a^2b^3 + b^3} \]

Знаменатель \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \). Однако в условии указан другой знаменатель, \( a^3 - a^2b^3 + b^3 \), что, вероятно, является опечаткой.

Предположим, что имелось в виду:

\( \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a^3+b^3} \)

Разложим второй знаменатель:

\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \]

Приведём к общему знаменателю \( (a+b)(a^2 - ab + b^2) \):

\[ \frac{a^2 - ab + b^2}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} - \frac{a+b}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \]

\[ \frac{(a^2 - ab + b^2) - (a+b)}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \]

\[ \frac{a^2 - ab + b^2 - a - b}{a^3 + b^3} \]

Если же брать выражение как есть:

\[ \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a^3 - a^2b^3 + b^3} \]

Приведём к общему знаменателю \( (a+b)(a^3 - a^2b^3 + b^3) \):

\[ \frac{a^3 - a^2b^3 + b^3}{(a+b)(a^3 - a^2b^3 + b^3)} - \frac{a+b}{(a+b)(a^3 - a^2b^3 + b^3)} \]

\[ \frac{a^3 - a^2b^3 + b^3 - a - b}{(a+b)(a^3 - a^2b^3 + b^3)} \]

Наиболее вероятно, что в условии была опечатка, и второе выражение должно было быть связано с разностью кубов. Без уточнения, будем считать, что упрощение приведено выше.

Ответ: \( \frac{a^2 - ab + b^2 - a - b}{a^3 + b^3} \) (при условии, что второе выражение \( a^3+b^3 \)) или \( \frac{a^3 - a^2b^3 + b^3 - a - b}{(a+b)(a^3 - a^2b^3 + b^3)} \) (при буквальном следовании условию).