Билет №22. 1. Решение тригонометрических уравнений 2. Решите уравнение √x² +5x+10 - √x² + 5x + 3 = 1 3. Понятие оъема

Решение уравнения:

Обозначим \( y = \sqrt{x^2 + 5x} \). Тогда уравнение примет вид:

\[ \sqrt{y^2 + 10} - \sqrt{y^2 + 3} = 1 \]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{y^2 + 10} - \sqrt{y^2 + 3})^2 = 1^2 \]

\[ (y^2 + 10) - 2\sqrt{(y^2 + 10)(y^2 + 3)} + (y^2 + 3) = 1 \]

\[ 2y^2 + 13 - 2\sqrt{y^4 + 13y^2 + 30} = 1 \]

\[ 2y^2 + 12 = 2\sqrt{y^4 + 13y^2 + 30} \]

\[ y^2 + 6 = \sqrt{y^4 + 13y^2 + 30} \]

Снова возведём в квадрат:

\[ (y^2 + 6)^2 = y^4 + 13y^2 + 30 \]

\[ y^4 + 12y^2 + 36 = y^4 + 13y^2 + 30 \]

\[ 12y^2 + 36 = 13y^2 + 30 \]

\[ y^2 = 6 \]

Теперь вернёмся к \( y = \sqrt{x^2 + 5x} \):

\[ x^2 + 5x = 6 \]

\[ x^2 + 5x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \]

\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Проверка:

Для \( x = 1 \): \( \sqrt{1^2 + 5(1) + 10} - \sqrt{1^2 + 5(1) + 3} = \sqrt{1+5+10} - \sqrt{1+5+3} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \) (Верно)

Для \( x = -6 \): \( \sqrt{(-6)^2 + 5(-6) + 10} - \sqrt{(-6)^2 + 5(-6) + 3} = \sqrt{36 - 30 + 10} - \sqrt{36 - 30 + 3} = \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \) (Верно)

Ответ: x = 1, x = -6.