Билет №23. 1. Решения простейших тригонометрических неравенств 2. Решите уравнение √x² + 3x +12 - √x² + 3x = 2 3. Объем прямоугольного параллелепипеда

Решение уравнения:

Обозначим \( y = \sqrt{x^2 + 3x} \). Тогда уравнение примет вид:

\[ \sqrt{y^2 + 12} - \sqrt{y^2} = 2 \]

\[ \sqrt{y^2 + 12} - y = 2 \]

\[ \sqrt{y^2 + 12} = y + 2 \]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ y^2 + 12 = (y + 2)^2 \]

\[ y^2 + 12 = y^2 + 4y + 4 \]

\[ 12 = 4y + 4 \]

\[ 4y = 8 \]

\[ y = 2 \]

Теперь вернёмся к \( y = \sqrt{x^2 + 3x} \):

\[ \sqrt{x^2 + 3x} = 2 \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ x^2 + 3x = 4 \]

\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \]

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Проверка:

Для \( x = 1 \): \( \sqrt{1^2 + 3(1) + 12} - \sqrt{1^2 + 3(1)} = \sqrt{1+3+12} - \sqrt{1+3} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \) (Верно)

Для \( x = -4 \): \( \sqrt{(-4)^2 + 3(-4) + 12} - \sqrt{(-4)^2 + 3(-4)} = \sqrt{16 - 12 + 12} - \sqrt{16 - 12} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \) (Верно)

Ответ: x = 1, x = -4.