Билет №21. 1. Простейшие тригонометрические уравнения cosx=a, sinx=a, tgx=a, ctgx=a 2. Решите уравнение √x + √6x - 9 + √x - √6x - 9 = √6 3. Сфера

Решение:

1. Простейшие тригонометрические уравнения:
• \( \cos(x) = a \):
• Если \( |a| \le 1 \), то \( x = \pm \arccos(a) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Если \( |a| > 1 \), решений нет.
• \( \sin(x) = a \):
• Если \( |a| \le 1 \), то \( x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Если \( |a| > 1 \), решений нет.
• \( \tan(x) = a \):
• \( x = \arctan(a) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \) (решения существуют для любого \( a \)).
• \( \mathrm{ctg}(x) = a \):
• \( x = \mathrm{arccot}(a) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \) (решения существуют для любого \( a \)).
2. Решение уравнения:

\( \sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6} \)

ОДЗ:

1. \( 6x - 9 \ge 0 \) ⇒ \( 6x \ge 9 \) ⇒ \( x \ge 1.5 \).

2. \( x - \sqrt{6x - 9} \ge 0 \) ⇒ \( x \ge \sqrt{6x - 9} \). Так как \( x \ge 1.5 \), то \( x \ge 0 \). Возведём обе части в квадрат:

\( x^2 \ge 6x - 9 \) ⇒ \( x^2 - 6x + 9 \ge 0 \) ⇒ \( (x - 3)^2 \ge 0 \). Это неравенство выполняется для всех \( x \).

Итак, ОДЗ: \( x \ge 1.5 \).

Возведём обе части исходного уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}})^2 = (\sqrt{6})^2 \)

\( (x + \sqrt{6x - 9}) + (x - \sqrt{6x - 9}) + 2\sqrt{(x + \sqrt{6x - 9})(x - \sqrt{6x - 9})} = 6 \)

\( 2x + 2\sqrt{x^2 - (6x - 9)} = 6 \)

\( 2x + 2\sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6 \)

\( 2x + 2\sqrt{(x - 3)^2} = 6 \)

\( 2x + 2|x - 3| = 6 \)

Разделим на 2:

\( x + |x - 3| = 3 \)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x - 3 \ge 0 \) ⇒ \( x \ge 3 \).

\( x + (x - 3) = 3 \)

\( 2x - 3 = 3 \)

\( 2x = 6 \) ⇒ \( x = 3 \). Этот корень удовлетворяет условию \( x \ge 3 \) и ОДЗ \( x \ge 1.5 \).

Случай 2: \( x - 3 < 0 \) ⇒ \( x < 3 \).

\( x - (x - 3) = 3 \)

\( x - x + 3 = 3 \)

\( 3 = 3 \). Это тождество означает, что все \( x \), удовлетворяющие условию \( x < 3 \) и ОДЗ \( x \ge 1.5 \), являются решениями. Таким образом, \( x \in [1.5, 3) \).

Объединяя решения обоих случаев: \( [1.5, 3) \cup \{3\} = [1.5, 3] \).

3. Теория:

Сфера — это тело, состоящее из всех точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра сферы).

• Радиус сферы — расстояние от центра до любой точки сферы.
• Диаметр сферы — отрезок, соединяющий две диаметрально противоположные точки сферы и проходящий через центр.

Ответ: 1. Решения простейших тригонометрических уравнений вида \( \text{trig}(x) = a \). 2. \( x \in [1.5, 3] \). 3. Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки (центра).