Билет №19. 1. Формулы приведения 2. Решите неравенство √x² - 3x + 2 > x + 3 3. Конус

Решение:

1. Формулы приведения:

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов, отличающихся от острого угла \( \alpha \) на \( \frac{\pi}{2} \), \( \pi \), \( \frac{3\pi}{2} \), \( 2\pi \) и т.д., через тригонометрические функции угла \( \alpha \).

Основные формулы:

• \( \sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \pm \cos(\alpha) \)
• \( \cos(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp \sin(\alpha) \)
• \( \sin(\pi \pm \alpha) = \mp \sin(\alpha) \)
• \( \cos(\pi \pm \alpha) = \mp \cos(\alpha) \)
• \( \tan(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp \mathrm{ctg}(\alpha) \)
• \( \tan(\pi \pm \alpha) = \pm \tan(\alpha) \)
• \( \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp \tan(\alpha) \)
• \( \mathrm{ctg}(\pi \pm \alpha) = \pm \mathrm{ctg}(\alpha) \)

Правило: Если аргумент содержит \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) (нечётное число \( \frac{\pi}{2} \)), то функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Если аргумент содержит \( \pi \) или \( 2\pi \) (чётное число \( \frac{\pi}{2} \)), то функция остаётся прежней. Знак результата определяется знаком исходной функции в соответствующей четверти.

2. Решение неравенства:

\( \sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3 \)

ОДЗ: \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \):

\( (x-1)(x-2) = 0 \) ⇒ \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \)

Значит, \( x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна или равна нулю.

\( x + 3 \le 0 \) ⇒ \( x \le -3 \)

В этом случае неравенство выполняется, если левая часть определена. Учитывая ОДЗ, получаем \( x \in (-\infty, -3] \).

Случай 2: Правая часть неравенства положительна.

\( x + 3 > 0 \) ⇒ \( x > -3 \)

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\( x^2 - 3x + 2 > (x + 3)^2 \)

\( x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9 \)

\( -3x - 6x > 9 - 2 \)

\( -9x > 7 \)

\( x < -\frac{7}{9} \)

Учитывая \( x > -3 \) и ОДЗ \( x \ge 2 \) (так как \( x < -7/9 \) и \( x \ge 2 \) не пересекаются), получаем \( x \in [2, \infty) \) из ОДЗ, и \( x < -7/9 \). Пересечение этих условий с \( x>-3 \) дает \( x \notin [2, \text{infinity}) \) и \( x \notin (-\text{infinity}, -3] \). Правильно: \( x \notin (-\text{infinity}, -3] \) и \( x \notin [2, \text{infinity}) \). Таким образом, для случая 2, при \( x > -3 \) и \( x < -7/9 \), и учитывая ОДЗ \( x \notin (-\text{infinity}, 1] \text{ and } [2, \text{infinity}) \), мы получаем \( x \notin (-\text{infinity}, -3] \) и \( x \notin [2, \text{infinity}) \). Правильный интервал здесь: \( x \in (-3, -7/9) \) с учетом ОДЗ \( x \notin (-\text{infinity}, 1] \text{ and } [2, \text{infinity}) \). Следовательно, условие \( x < -7/9 \) с \( x > -3 \) и ОДЗ \( x \notin (-\text{infinity}, 1] \text{ and } [2, \text{infinity}) \) дает \( x \in (-3, -7/9) \).

Объединяем решения случаев:

\( (-\infty, -3] \cup (-3, -7/9) = (-\infty, -7/9) \). Но нужно учесть ОДЗ \( x \notin (-\infty, 1] \text{ and } [2, \text{infinity}) \). Таким образом, \( x \in (-\infty, -7/9) \) и \( x \le 1 \) или \( x \ge 2 \). Пересечение \( (-\infty, -7/9) \) с \( (-\infty, 1] \) дает \( (-\infty, -7/9) \).

Объединяя все условия: \( (-\infty, -3] \cup (-3, -7/9) \) с учетом ОДЗ \( x \notin (-\infty, 1] \text{ and } [2, \text{infinity}) \) дает \( (-\infty, -7/9) \).

3. Теория:

Конус — это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

• Основание конуса — круг.
• Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника.
• Высота конуса — катет, вокруг которого происходило вращение.

Ответ: 1. Формулы приведения для тригонометрических функций. 2. \( x \in (-\infty, -7/9) \). 3. Конус — тело вращения, у которого основание — круг, а боковая поверхность образуется движением образующей от точки (вершины) до окружности основания.