Билет №17. 1. Формулы сложения 2. Решите уравнение 4.9ˣ − 13.6ˣ + 9.4ˣ = 0 3. Правильные многогранники

Решение:

1. Формулы сложения:
   \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta) \)
   \( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta) \)
   \( \mathrm{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\mathrm{tg}(\alpha) \pm \mathrm{tg}(\beta)}{1 \mp \mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)} \)
2. Решение уравнения: \( 4 ∙ 9^x - 13 ∙ 6^x + 9 ∙ 4^x = 0 \)
   Разделим обе части на \( 4^x \) (так как \( 4^x \) всегда больше 0):
   \( 4 ∙ \left( \frac{9}{4} \right)^x - 13 ∙ \left( \frac{6}{4} \right)^x + 9 = 0 \)
   \( 4 ∙ \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - 13 ∙ \left( \frac{3}{2} \right)^x + 9 = 0 \)
   Пусть \( y = \left( \frac{3}{2} \right)^x \). Тогда уравнение примет вид:
   \( 4y^2 - 13y + 9 = 0 \)
   Найдём дискриминант:
   \[ D = (-13)^2 - 4 ∙ 4 ∙ 9 = 169 - 144 = 25 \]
   Найдём корни \( y \):
   \[ y_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 ∙ 4} = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \]
   \[ y_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 ∙ 4} = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
   Теперь вернёмся к замене \( y = \left( \frac{3}{2} \right)^x \):
   1) \( \left( \frac{3}{2} \right)^x = \frac{9}{4} \) \( \Rightarrow \) \( \left( \frac{3}{2} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^2 \) \( \Rightarrow x = 2 \)
   2) \( \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( \left( \frac{3}{2} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^0 \) \( \Rightarrow x = 0 \)
3. Теоретический вопрос: Правильные многогранники (Платоновы тела) — это выпуклые многогранники, у которых все грани являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер. Существует пять правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Ответ: 1. Формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса. 2. \( x = 0, x = 2 \). 3. Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.