Билет №20 1. Определение треугольника и его виды. 2. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. 3. Сумма трёх углов параллелограмма равна 254°. Найдите углы параллелограмма. 4. Площади двух подобных треугольников равны 16 см² и 25см². Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

Билет №20

1. Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Треугольники бывают:
   • По сторонам: разносторонние (все стороны разные), равнобедренные (две стороны равны), равносторонние (все стороны равны).
   • По углам: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой), тупоугольные (один угол тупой).


2. Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
4. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.



5. Решение:

   Сумма углов параллелограмма равна 360°. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма двух соседних углов равна 180°.

   Пусть углы параллелограмма равны \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha = \alpha \), \( \beta = \beta \) (противоположные углы равны).

   Сумма углов: \( 2\alpha + 2\beta = 360^{\circ} \).

   По условию, сумма трёх углов равна 254°.

   Возможны два случая:

   Случай 1: Два угла равны \( \alpha \), один угол равен \( \beta \).

   \[ 2\alpha + \beta = 254^{\circ} \]

   Мы знаем, что \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \), значит \( \beta = 180^{\circ} - \alpha \).

   Подставим во второе уравнение:

   \[ 2\alpha + (180^{\circ} - \alpha) = 254^{\circ} \]

   \[ \alpha + 180^{\circ} = 254^{\circ} \]

   \[ \alpha = 254^{\circ} - 180^{\circ} = 74^{\circ} \]

   Тогда \( \beta = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \).

   Углы параллелограмма: 74°, 106°, 74°, 106°.

   Проверим сумму трех углов: \( 74^{\circ} + 106^{\circ} + 74^{\circ} = 254^{\circ} \) (верно).

   Случай 2: Один угол равен \( \alpha \), два угла равны \( \beta \).

   \[ \alpha + 2\beta = 254^{\circ} \]

   Мы знаем, что \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \), значит \( \alpha = 180^{\circ} - \beta \).

   Подставим во второе уравнение:

   \[ (180^{\circ} - \beta) + 2\beta = 254^{\circ} \]

   \[ 180^{\circ} + \beta = 254^{\circ} \]

   \[ \beta = 254^{\circ} - 180^{\circ} = 74^{\circ} \]

   Тогда \( \alpha = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \).

   Углы параллелограмма: 106°, 74°, 106°, 74°. Это тот же набор углов.

   Ответ: углы параллелограмма равны 74° и 106°.




6. Решение:

   Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

   Пусть \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади треугольников, \( k \) — коэффициент подобия. Тогда \( \frac{S_2}{S_1} = k^2 \).

   По условию \( S_1 = 16 \) см², \( S_2 = 25 \) см².

   \[ k^2 = \frac{25}{16} \]

   \[ k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \]

   Коэффициент подобия равен \( \frac{5}{4} \).

   Пусть \( a_1 \) — сторона первого треугольника, \( a_2 \) — сходственная сторона второго треугольника.

   Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия: \( \frac{a_2}{a_1} = k \).

   По условию \( a_1 = 2 \) см.

   \[ \frac{a_2}{2} = \frac{5}{4} \]

   \[ a_2 = 2 \(\cdot\) \(\frac{5}{4}\) = \(\frac{10}{4}\) = 2.5 \) см.

   Ответ: сходственная сторона второго треугольника равна 2.5 см.