Билет №18. 1. Смежные углы и его свойство. 2. Описанная окружность. Терема об описанной окружности. 3. Площадь прямоугольника равна 75 см². Найдите стороны этого прямоугольника, если одна из них в три раза больше другой. 4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.

Билет №18

1. Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны образуют развёрнутый угол. Смежные углы в сумме составляют 180 градусов.


2. Теорема об описанной окружности: В любой треугольник можно вписать окружность, касающуюся всех сторон треугольника. Центр этой окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.



3. Решение:

   Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) см и \( 3x \) см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = x \cdot 3x \).

   По условию \( S = 75 \) см². Составим уравнение:

   \[ 3x^2 = 75 \]

   Разделим обе части уравнения на 3:

   \[ x^2 = 25 \]

   Извлечём квадратный корень:

   \[ x = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

   Тогда одна сторона равна 5 см, а другая \( 3 \cdot 5 = 15 \) см.

   Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 15 см.




4. Решение:

   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

   \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{48}{2} = 24 \) см².

   Также площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию: \( S = \frac{1}{2}ch \), где \( c \) — гипотенуза, \( h \) — высота, проведённая к гипотенузе.

   Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \).

   \[ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

   \[ c = \sqrt{100} = 10 \) см.

   Теперь найдём высоту, проведённую к гипотенузе, используя формулу площади:

   \[ 24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h \]

   \[ 24 = 5h \]

   \[ h = \(\frac{24}{5}\) = 4.8 \) см.

   Ответ: высота, проведённая к гипотенузе, равна 4.8 см.