Билет №19 1. Вертикальные углы и его свойства 2. Средняя линия треугольника 3. Вписанный угол АВС окружности равен 32°. Чему равен центральный угол АОС. 4. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60.

Билет №19

1. Вертикальные углы — это углы, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют общую вершину, но не имеют общих сторон. Вертикальные углы равны друг другу.


2. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.



3. Решение:

   Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соответственно, центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

   В данном случае вписанный угол \( \angle ABC = 32^{\circ} \). Центральный угол \( \angle AOC \) опирается на ту же дугу \( AC \).

   \[ \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC \]

   \[ \angle AOC = 2 \cdot 32^{\circ} = 64^{\circ} \]

   Ответ: центральный угол равен 64°.




4. Решение:

   Пусть одна сторона прямоугольника равна \( a = 5 \) см. Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны: \( d_1 = d_2 = d \). Угол между диагоналями равен \( 60^{\circ} \).

   Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Два из них равнобедренные с боковыми сторонами, равными половине диагонали \( \frac{d}{2} \), и углами при вершине \( 60^{\circ} \) и \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

   Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен \( 60^{\circ} \), то этот треугольник является равносторонним. Значит, \( \frac{d}{2} = 5 \) см, откуда \( d = 10 \) см.

   Другие два треугольника также равнобедренные, с боковыми сторонами \( \frac{d}{2} \) и углом \( 120^{\circ} \) при вершине.

   Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( a=5 \) см и двумя половинками диагоналей. Угол между диагоналями равен \( 60^{\circ} \). Если одна из сторон прямоугольника равна 5 см, то мы можем найти другую сторону \( b \) используя тригонометрию. Угол между диагоналями \( 60^{\circ} \) означает, что один из углов равнобедренных треугольников, на которые делят диагонали прямоугольник, равен \( 60^{\circ} \). Следовательно, половина диагонали равна стороне, прилежащей к углу \( 60^{\circ} \), то есть \( d/2 = 5 \) см. Это неверно. Угол между диагоналями \( 60^{\circ} \) или \( 120^{\circ} \).

   Пусть диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( a=5 \) и двумя половинками диагоналей. Угол между диагоналями \( 60^{\circ} \). Половинки диагоналей равны \( d/2 \). Треугольник с вершиной в точке O и стороной \( a \) имеет углы \( 60^{\circ} \) и \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) при основании. Из этого треугольника можно найти \( d \).

   Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( a=5 \) и двумя половинками диагоналей. Пусть \( \alpha = 60^{\circ} \) — угол между диагоналями. Тогда у нас есть равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \( d/2 \) и углом \( \alpha \) между ними. Площадь этого треугольника равна \( \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \sin(\alpha) \).

   С другой стороны, площадь прямоугольника \( S = ab \). Также \( S = 2 \cdot S_{\text{треугольника}} + 2 \cdot S_{\text{другого треугольника}} \).

   Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( a=5 \) и двумя половинками диагонали. Угол между диагоналями \( 60^{\circ} \). Половины диагоналей равны \( d/2 \). По теореме косинусов в треугольнике, образованном стороной \( a \) и двумя половинками диагоналей, где угол между диагоналями \( 60^{\circ} \):

   \[ a^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2 \cdot (d/2) \cdot (d/2) \cdot \cos(60^{\circ}) \]

   \[ 5^2 = 2 \cdot (d/2)^2 - 2 \cdot (d/2)^2 \cdot \frac{1}{2} \]

   \[ 25 = 2 \cdot \frac{d^2}{4} - \frac{d^2}{4} \]

   \[ 25 = \frac{d^2}{4} \]

   \[ d^2 = 100 \]

   \[ d = 10 \) см.

   Теперь найдем вторую сторону \( b \). В другом равнобедренном треугольнике, образованном стороной \( b \) и двумя половинками диагоналей, угол между диагоналями \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

   \[ b^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2 - 2 \cdot (d/2) \cdot (d/2) \cdot \cos(120^{\circ}) \]

   \[ b^2 = 2 \cdot (10/2)^2 - 2 \cdot (10/2)^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \]

   \[ b^2 = 2 \cdot 5^2 - 2 \cdot 5^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \]

   \[ b^2 = 50 - 50 \cdot (-\frac{1}{2}) = 50 + 25 = 75 \]

   \[ b = \(\sqrt{75}\) = 5\(\sqrt{3}\) \) см.

   Площадь прямоугольника равна \( S = ab = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \) см².

   Ответ: площадь прямоугольника равна \( 25\sqrt{3} \) см².