Билет №17: 1. Параллельные прямые. Расстояние между параллельными прямыми. 2. Доказать, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. 3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Доказать, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

Решение:

1. Параллельные прямые и расстояние между ними:

Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются.

Расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую.

2. Доказательство:

Теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство (методом от противного):

1. Пусть дан треугольник ABC, ∠A > ∠B. Нужно доказать, что BC > AC.
2. Предположим обратное: BC ≤ AC.
3. Если BC = AC, то треугольник равнобедренный, и против равных сторон лежат равные углы: ∠A = ∠B. Это противоречит условию ∠A > ∠B.
4. Если BC < AC, то против большей стороны AC лежит больший угол ∠B. Следовательно, ∠B > ∠A. Это также противоречит условию ∠A > ∠B.
5. Оба предположения ($$BC = AC$$ и $$BC < AC$$) привели к противоречию.
6. Следовательно, остается верным только утверждение, что BC > AC.

Что и требовалось доказать.

3. Задача:

Дано:

• △ABC.
• ∠A = 40°.
• ∠BCE (внешний) = 80°.
• CK — биссектриса ∠BCE.

Доказать: CK || AB.

Доказательство:

1. Найдем ∠ACB: ∠ACB = 180° - ∠BCE = 180° - 80° = 100°.
2. Найдем ∠B в △ABC: ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 40° - 100° = 40°.
3. Так как ∠A = ∠B = 40°, то △ABC — равнобедренный с AC = BC.
4. Найдем ∠BCK: ∠BCK = ∠BCE / 2 = 80° / 2 = 40° (так как CK — биссектриса).
5. Рассмотрим ∠BCK и ∠KCA. ∠BCK = 40°, ∠KCA = ∠ACB = 100°.
6. Теперь рассмотрим углы, образованные секущей CK и прямыми AB и CK.
7. ∠ACK = ∠BCE - ∠BCK = 80° - 40° = 40°.
8. Угол ∠ACK и ∠CAB являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AB и CK и секущей AC.
9. ∠ACK = 40°, ∠CAB = 40°.
10. Так как ∠ACK = ∠CAB, то по признаку параллельности прямых, CK || AB.

Что и требовалось доказать.