Билет №15: 1. Какая теорема называется обратной к данной теореме. Привести примеры. 2. Доказать, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. 3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найти эти углы.

Решение:

1. Обратная теорема:

Если в теореме поменять местами условие и заключение, то получится обратная теорема. Если исходная теорема верна, то обратная ей может быть как верной, так и ложной.

Пример:

• Прямая теорема: Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный. (Верно)
• Обратная теорема: Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний. (Ложно, т.к. равнобедренный треугольник может иметь разные углы, например 30°, 30°, 120°).

2. Доказательство параллельности прямых:

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Доказательство:

1. Пусть даны прямые a, b, c.
2. Известно, что a || c и b || c.
3. Нужно доказать, что a || b.
4. Проведем секущую d, которая пересекает все три прямые.
5. Так как a || c, то соответственные углы, образованные секущей d и прямыми a и c, равны.
6. Так как b || c, то соответственные углы, образованные секущей d и прямыми b и c, равны.
7. Следовательно, соответственные углы, образованные секущей d и прямыми a и b, равны.
8. По признаку параллельности прямых (если соответственные углы равны, то прямые параллельны), прямые a и b параллельны.

3. Задача:

Дано:

• Две параллельные прямые пересечены секущей.
• Образовались односторонние углы ∠1 и ∠2.
• ∠1 - ∠2 = 50°

Найти: ∠1 и ∠2

Решение:

1. Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°.
2. ∠1 + ∠2 = 180°
3. Из условия ∠1 - ∠2 = 50°.
4. Выразим ∠1 из второго уравнения: ∠1 = 50° + ∠2.
5. Подставим это в первое уравнение: (50° + ∠2) + ∠2 = 180°
6. 50° + 2∠2 = 180°
7. 2∠2 = 180° - 50°
8. 2∠2 = 130°
9. ∠2 = 65°
10. Теперь найдем ∠1: ∠1 = 180° - 65° = 115°.

Ответ: Углы равны 115° и 65°.