Билет № 17. 1. Определение синуса, косинуса, тангенса. Основное тригонометрическое тождество. 2. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение:

1. Определение синуса, косинуса, тангенса. Основное тригонометрическое тождество.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \( a \) и \( b \), гипотенузой \( c \) и углом \( \alpha \) против катета \( a \).

• Синус (sin) угла \( \alpha \) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin \alpha = \frac{a}{c} \).
• Косинус (cos) угла \( \alpha \) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: \( \cos \alpha = \frac{b}{c} \).
• Тангенс (tg) угла \( \alpha \) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \).

Основное тригонометрическое тождество:

Для любого угла \( \alpha \) выполняется равенство:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

2. Площадь трапеции.

Из рисунка видно, что трапеция является прямоугольной, так как один из боковых сторон перпендикулярен основаниям (высота равна 12).

Дано:

• Нижнее основание \( a = 9 + 12 = 21 \).
• Верхнее основание \( b = 7 \).
• Высота \( h = 12 \).
• Боковая сторона \( c_1 = 15 \) (не является основанием или высотой).
• Боковая сторона \( c_2 = 13 \) (не является основанием или высотой).

Формула площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

Подставляем значения:

\[ S = \frac{21 + 7}{2} \cdot 12 \]

\[ S = \frac{28}{2} \cdot 12 \]

\[ S = 14 \cdot 12 \]

Для вычисления \( 14 \times 12 \):

\[ 14 \times 10 = 140 \]

\[ 14 \times 2 = 28 \]

\[ 140 + 28 = 168 \]

Ответ: 168