Билет №16. 1. Синус, косинус и тангенс углов α и -α 2. Решите уравнение 16 · 9^x - 25 · 12^x + 9 · 16^x = 0 3. Усеченная пирамида

Решение:

1. Синус, косинус и тангенс углов α и -α:
   \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \)
   \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \)
   \( \mathrm{tg}(-\alpha) = -\mathrm{tg}(\alpha) \)
2. Решение уравнения: \( 16 \cdot 9^x - 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0 \)
   Разделим обе части уравнения на \( 9^x \) (так как \( 9^x \neq 0 \)):
   \[ 16 \cdot \left(\frac{9}{9}\right)^x - 25 \cdot \left(\frac{12}{9}\right)^x + 9 \cdot \left(\frac{16}{9}\right)^x = 0 \]
   \[ 16 - 25 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^x + 9 \cdot \left(\frac{16}{9}\right)^x = 0 \]
   Пусть \( y = \left(\frac{4}{3}\right)^x \). Тогда \( \left(\frac{16}{9}\right)^x = \left(\left(\frac{4}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{4}{3}\right)^{2x} = y^2 \).
   Получаем квадратное уравнение относительно \( y \):
   \[ 16 - 25y + 9y^2 = 0 \]
   \[ 9y^2 - 25y + 16 = 0 \]
   Найдём дискриминант: \( D = (-25)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 625 - 576 = 49 \).
   Корни: \( y_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 \cdot 9} = \frac{25 + 7}{18} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9} \)
   \( y_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 \cdot 9} = \frac{25 - 7}{18} = \frac{18}{18} = 1 \)
   Теперь вернёмся к \( x \):
   1) \( y = \frac{16}{9} \) \( \rightarrow \) \( \big( \frac{4}{3} \big)^x = \frac{16}{9} \) \( \rightarrow \) \( \big( \frac{4}{3} \big)^x = \big( \frac{4}{3} \big)^2 \) \( \rightarrow \) \( x = 2 \).
   2) \( y = 1 \) \( \rightarrow \) \( \big( \frac{4}{3} \big)^x = 1 \) \( \rightarrow \) \( x = 0 \).
3. Усеченная пирамида: Свойства усеченной пирамиды включают: основания (два подобных многоугольника), боковые грани (трапеции), высота (перпендикуляр между основаниями).

Ответ: 1. Тригонометрические зависимости углов α и -α. 2. x = 2, x = 0. 3. Свойства усеченной пирамиды.