Билет 13. 2. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Доказательство неравенства треугольника:

Пусть дан треугольник \( ABC \). Нужно доказать, что \( AB < AC + CB \), \( AC < AB + BC \), \( BC < AB + AC \).

Проведем прямую \( CD \) так, чтобы точка \( C \) лежала между \( A \) и \( D \), и \( AC = CD \).

Соединим точку \( B \) с точкой \( D \). Рассмотрим треугольник \( BCD \).

По построению \( AC = CD \), значит, \( ╍ ABC = ╍ DBC \) (по двум сторонам и углу между ними), следовательно \( AB = BD \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \).

\( AD = AC + CD = 2AC \).

Нам нужно доказать \( AB < AC + CB \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Продолжим сторону \( AC \) за точку \( C \) так, чтобы \( CD = BC \). Соединим \( D \) с \( B \).

В треугольнике \( BCD \) \( BC = CD \), поэтому он равнобедренный, и \( ∠ CBD = ∠ CDB \).

В треугольнике \( ABD \) сторона \( AD = AC + CD = AC + BC \).

Нам нужно доказать \( AB < AC + BC \).

В треугольнике \( ABD \) сторона \( AB \) лежит против угла \( ∠ ADB \), а сторона \( AD \) лежит против угла \( ∠ ABD \).

Так как \( ∠ ABC = ∠ DBC \) (из равнобедренного \( BCD \)), то \( ∠ ABD = ∠ ABC + ∠ DBC = ∠ ABC + ∠ ABC = 2∠ ABC \).

В треугольнике \( ABD \) \( ∠ ADB \) является внешним углом для \( ╍ BCD \), но это не так.

Другое доказательство:

Пусть дан треугольник \( ABC \). Продолжим сторону \( AC \) на длину \( CD = BC \). Соединим \( B \) и \( D \).

Рассмотрим \( ╍ ABD \). Его сторона \( AD = AC + CD = AC + BC \).

В \( ╍ BCD \) \( BC = CD \), значит \( ∠ CBD = ∠ CDB \).

В \( ╍ ABD \) против большего угла лежит большая сторона. Угол \( ∠ ABD \) больше угла \( ∠ ADB \), так как \( ∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD \), а \( ∠ ADB = ∠ CDB \), и \( ∠ ABC \) > 0.

Значит, \( AD > AB \), что и требовалось доказать: \( AC + BC > AB \).

Неравенство треугольника — это теорема, утверждающая, что сумма длин двух любых сторон треугольника строго больше длины третьей стороны.

Ответ: Доказано. Неравенство треугольника — сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.