4. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \), \( AB = BC \). Проведены медианы \( BM \) к стороне \( AC \) и \( BK \) к стороне \( AC \).

Рассмотрим треугольники \( ABK \) и \( CBM \).

1. \( AB = BC \) (по условию, так как треугольник равнобедренный).

2. \( ∠ A = ∠ C \) (углы при основании равнобедренного треугольника).

3. \( AK = MC \) (так как \( BK \) и \( BM \) — медианы, то \( AK = \frac{1}{2} AC \) и \( MC = \frac{1}{2} AC \)).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( ╍ ABK = ╍ CBM \).

Следовательно, соответствующие стороны \( BK = BM \). Медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Ответ: Доказано.