Билет №12. 1. Вертикальные углы (определение и свойства). 2. Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно ОМ.

Билет №12

1. Вертикальные углы:

• Определение: Два угла называются вертикальными, если их стороны составляют пары противоположных лучей.
• Свойства:
• Вертикальные углы равны.
• Сумма вертикальных углов и смежных с ними углов равна 180°.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) — прямоугольные (\( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \)), \( AB = A_1B_1 \) (гипотенузы), \( \angle A = \angle A_1 \) (острые углы).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство:

1. Так как \( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \), \( \angle A = \angle A_1 \), то сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \), следовательно, \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - \angle A \).
2. Аналогично, \( \angle B_1 = 90^{\circ} - \angle A_1 \).
3. Так как \( \angle A = \angle A_1 \), то \( \angle B = \angle B_1 \).
4. Теперь у нас есть два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) с равными сторонами \( AB = A_1B_1 \) и равными углами \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \).
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

3. Задача:

Дано: Отрезки \( AB \) и \( CE \) пересекаются в точке \( O \) — их середине. \( AO = OB \), \( CO = OE \). \( K \) на \( AC \), \( M \) на \( BE \). \( AK = BM \).

Доказать: \( OK = OM \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \).
2. \( AO = OB \) и \( CO = OE \) (по условию).
3. \( \angle AOC = \angle BOE \) (как вертикальные углы).
4. По первому признаку равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOE \).
5. Из равенства треугольников следует, что \( AC = BE \) и \( \angle CAO = \angle EBO \).
6. Рассмотрим \( \triangle AKO \) и \( \triangle BMO \).
7. \( AK = BM \) (по условию).
8. \( AO = BO \) (по условию).
9. \( \angle KAO = \angle MBO \) (из равенства \( \triangle AOC = \triangle BOE \)).
10. По первому признаку равенства треугольников \( \triangle AKO = \triangle BMO \).
11. Из равенства треугольников следует, что \( OK = OM \).

Ответ: OK равно OM.