Билет №11. 1. Смежные углы (определение и свойства). 2. Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 3. Задача на тему «Свойства равнобедренного треугольника». Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

Билет №11

1. Смежные углы:

• Определение: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой.
• Свойство: Сумма смежных углов равна 180°.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) — прямоугольные (\( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \)), \( AB = A_1B_1 \) (гипотенузы), \( AC = A_1C_1 \) (катеты).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство:

1. Приложим \( \triangle A_1B_1C_1 \) к \( \triangle ABC \) так, чтобы отрезок \( AC \) совпал с отрезком \( A_1C_1 \), а точка \( B_1 \) оказалась в положении \( B' \) по другую сторону от прямой \( AC \).
2. Так как \( AC = A_1C_1 \), то точка \( B \) совпадёт с \( B' \).
3. \( \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 = 90^{\circ} \).
4. \( \angle ACB = 90^{\circ} \) и \( \angle ACB' = 90^{\circ} \).
5. Следовательно, точки \( B, C, B' \) лежат на одной прямой, перпендикулярной \( AC \) в точке \( C \).
6. \( AB = A_1B_1 \) (по условию).
7. \( AB = AB' \) (так как \( B \) и \( B' \) совпадают).
8. \( A_1B_1 = AB' \) (по построению).
9. Треугольник \( ABB' \) — равнобедренный, так как \( AB = AB' \).
10. \( BC = CB' \) (так как \( C \) — середина \( BB' \)).
11. \( \triangle ABC = \triangle AB'C \) (по трём сторонам: \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B'C \), \( AB = AB' \) — третий признак равенства треугольников).
12. Из равенства \( \triangle ABC = \triangle AB'C \) следует, что \( \angle BAC = \angle B'AC \) и \( \angle BCA = \angle B'CA \).
13. Так как \( \angle BCA = 90^{\circ} \) и \( \angle B'CA = 90^{\circ} \), то \( \angle BAC = \angle B'AC \) означает, что \( \angle BAC = \angle A_1B_1C_1 \).
14. Теперь у нас есть \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) с \( AB = A_1B_1 \), \( AC = A_1C_1 \), \( \angle BAC = \angle A_1 \).
15. По первому признаку равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

3. Задача:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \) — биссектриса и высота.

Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Доказательство:

1. Так как \( AM \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAM = \angle MAC \).
2. Так как \( AM \) — высота, то \( \angle AMB = \angle AMC = 90^{\circ} \).
3. Рассмотрим \( \triangle AMB \) и \( \triangle AMC \).
4. \( AM \) — общая сторона.
5. \( \angle BAM = \angle MAC \) (по условию).
6. \( \angle AMB = \angle AMC = 90^{\circ} \) (по условию).
7. По первому признаку равенства треугольников \( \triangle AMB = \triangle AMC \).
8. Из равенства треугольников следует, что \( AB = AC \).
9. Так как две стороны треугольника равны, то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный.