Билет №10. 1. Какой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны. 3. Задача на тему «Смежные углы». Найти смежные углы, если один из них на 45° больше другого.

Билет №10

1. Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°).

Стороны прямоугольного треугольника:

• Катет — сторона, прилежащая к прямому углу.
• Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла. Гипотенуза всегда больше катета.

2. Теорема о равенстве соответственных углов при пересечении параллельных прямых секущей: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Прямые \( a \) и \( b \) параллельны (\( a ∥ b \)), прямая \( c \) — секущая. \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — соответственные углы.

Доказать: \( \angle 1 = \angle 2 \).

Доказательство:

1. Пусть \( \angle 3 \) — угол, вертикальный с \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 3 = \angle 1 \) (как вертикальные углы).
2. Пусть \( \angle 4 \) — внутренний накрест лежащий угол, накрест лежащий с \( \angle 3 \).
3. Так как \( a ∥ b \), то \( \angle 3 = \angle 4 \) (как внутренние накрест лежащие углы).
4. \( \angle 4 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие углы.
5. \( \angle 4 \) и \( \angle 2 \) расположены на одной стороне секущей, один внутри, другой снаружи.
6. \( \angle 4 = \angle 2 \) (как внутренние накрест лежащие углы).
7. Из равенств \( \angle 1 = \angle 3 \), \( \angle 3 = \angle 4 \), \( \angle 4 = \angle 2 \) следует, что \( \angle 1 = \angle 2 \).

3. Задача:

Пусть смежные углы равны \( x \) и \( y \). По условию один из углов на 45° больше другого. Пусть \( y = x + 45^{\circ} \).

Так как углы смежные, их сумма равна 180°: \( x + y = 180^{\circ} \).

Подставим значение \( y \) из первого уравнения во второе:

\( x + (x + 45^{\circ}) = 180^{\circ} \)

\( 2x + 45^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2x = 180^{\circ} - 45^{\circ} \)

\( 2x = 135^{\circ} \)

\( x = \frac{135^{\circ}}{2} \)

\( x = 67.5^{\circ} \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = x + 45^{\circ} = 67.5^{\circ} + 45^{\circ} = 112.5^{\circ} \)

Ответ: Смежные углы равны 67.5° и 112.5°.