B-2 1. Даны точки М (-2; -4), Р (4; 4), K (-1; 3). Найдите: 1) координаты векторов МК и РМ; 2) модули векторов МК и РМ; 3) координаты вектора EF = 2MK - 3PM; 4) скалярное произведение векторов МК и РМ; 5) косинус угла между векторами МК и РМ.

1) Координаты векторов МК и РМ:

Найдем координаты вектора МК:

$$\overrightarrow{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M) = (-1 - (-2); 3 - (-4)) = (1; 7)$$

Найдем координаты вектора РМ:

$$\overrightarrow{PM} = (x_M - x_P; y_M - y_P) = (-2 - 4; -4 - 4) = (-6; -8)$$

2) Модули векторов МК и РМ:

Модуль вектора МК:

$$|\overrightarrow{MK}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Модуль вектора РМ:

$$|\overrightarrow{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

3) Координаты вектора EF = 2MK - 3PM:

$$\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{MK} - 3\overrightarrow{PM} = 2(1; 7) - 3(-6; -8) = (2; 14) - (-18; -24) = (2 + 18; 14 + 24) = (20; 38)$$

4) Скалярное произведение векторов МК и РМ:

$$\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{PM} = x_{MK} \cdot x_{PM} + y_{MK} \cdot y_{PM} = 1 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8) = -6 - 56 = -62$$

5) Косинус угла между векторами МК и РМ:

$$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{MK}| \cdot |\overrightarrow{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = -\frac{31\sqrt{2}}{50}$$

Ответ:

• $$\overrightarrow{MK}(1; 7)$$, $$\overrightarrow{PM}(-6; -8)$$
• $$|\overrightarrow{MK}| = 5\sqrt{2}$$, $$|\overrightarrow{PM}| = 10$$
• $$\overrightarrow{EF}(20; 38)$$
• $$\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{PM} = -62$$
• $$\cos(\alpha) = -\frac{31\sqrt{2}}{50}$$