3. (3 балла) Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если: $$Sina = \frac{12}{13}$$, $$\frac{\pi}{2}$$<α<π.

Дано: $$\sin \alpha = \frac{12}{13}$$, $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$.

Найти: $$\cos \alpha$$, $$\tan \alpha$$, $$\ctg \alpha$$.

Решение:

1) $$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$$, следовательно, $$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$$.

2) Т.к. $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$, то $$\cos \alpha < 0$$, значит, $$\cos \alpha = - \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$$.

3) $$\cos \alpha = - \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = - \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = - \sqrt{\frac{169 - 144}{169}} = - \sqrt{\frac{25}{169}} = - \frac{5}{13}$$.

4) $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} = -2.4$$.

5) $$\ctg \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{5}{12}$$.

Ответ: $$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$$, $$\tan \alpha = -2.4$$, $$\ctg \alpha = -\frac{5}{12}$$.