8. (3 балла) О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. ОК, ОМ, ОН, ОР – биссектрисы треугольников АОВ, BOC, COD, DOA. Докажите, что КМНР - ромб.

Доказательство:

• Рассмотрим параллелограмм ABCD, где O - точка пересечения диагоналей.
• OK, OM, OH, OP - биссектрисы треугольников AOB, BOC, COD, DOA соответственно.
• В параллелограмме ABCD диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = OC и BO = OD.
• Рассмотрим треугольники AOB и COD. Так как AO = OC и BO = OD, а также ∠AOB = ∠COD (вертикальные углы), то треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними.
• Аналогично, треугольники BOC и DOA равны.
• Поскольку OK, OM, OH, OP - биссектрисы, то ∠AOK = ∠BOK, ∠BOM = ∠COM, ∠COH = ∠DOH, ∠DOP = ∠AOP.
• Рассмотрим четырехугольник KMHP. Покажем, что его стороны равны.
• Из равенства треугольников AOB и COD следует, что AB = CD.
• Из равенства треугольников BOC и DOA следует, что BC = DA.
• Рассмотрим треугольники OKM, OMH, OHP, OPK.
• ∠BOM = ∠COM (OM – биссектриса), следовательно, треугольники BOM и COM равны (по стороне и двум углам). Значит, BM = MC.
• Аналогично, AK = KB, CH = HD, DP = PA.
• Из равенства треугольников AOB и COD следует равенство углов ∠ABO = ∠CDO. А так как биссектрисы делят углы пополам, то ∠OBK = ∠ODH.
• Следовательно, треугольники OBK и ODH равны (по стороне и двум углам). Значит, OK = OH.
• Аналогично доказываем, что OM = OP.
• Рассмотрим треугольники OKM и OHP. OK = OH, OM = OP, KM = HP (как соответствующие стороны равных треугольников).
• Тогда KMHP - параллелограмм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам).
• Рассмотрим треугольники OKP и OHM. OK = OH, OP = OM, KP = HM (как соответствующие стороны равных треугольников).
• Тогда KM = HP. Следовательно, KMHP - ромб (т.к. все стороны равны).