6. а) (2 балла) Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через точку А, пересекает окружности в точках Ми N, а прямая, проходящая через точку В - в точках Ки Р (см. рисунок). Найдите угол АВР, если ZKMN = 82° 6) (2 балла) Докажите, что прямые NP и МК параллельны.

Ответ: а) ∠ABP = 82°; б) Доказательство в решении.

Решение:

а) Найдем угол ABP:

1. ∠KMN = 82° (дано).
2. ∠MAB = 180° - ∠KMN = 180° - 82° = 98° (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°).
3. ∠ABP = ∠MAB = 82° (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

б) Докажем, что прямые NP и MK параллельны:

1. ∠NMA = ∠NKA (вписанные углы, опирающиеся на дугу NA).
2. ∠PMK = ∠PBK (вписанные углы, опирающиеся на дугу PK).
3. ∠NMA = ∠PMK (оба равны углу KMN).
4. ∠NKA = ∠PBK.
5. ∠NPK = ∠NKP (углы при основании равнобедренного треугольника NPK).
6. Значит, ∠NPK = ∠NKP = (180° - ∠NKA) / 2.
7. ∠NPK = ∠PMK.
8. Следовательно, NP || MK (если соответственные углы равны, то прямые параллельны).

Ответ: а) ∠ABP = 82°; б) Доказательство в решении.