B1 Решите систему уравнений: { x+2y=3, x²-2x+4y²=21.

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x^2 - 2x + 4y^2 = 21 \end{cases} \]

Метод: Подстановка

1. Выразим x из первого уравнения:
   

   \[ x = 3 - 2y \]

   
   


2. Подставим это выражение во второе уравнение:
   

   \[ (3 - 2y)^2 - 2(3 - 2y) + 4y^2 = 21 \]

   
   


3. Раскроем скобки:
   

   \[ (9 - 12y + 4y^2) - (6 - 4y) + 4y^2 = 21 \]

   
   


4. Упростим уравнение:
   

   \[ 9 - 12y + 4y^2 - 6 + 4y + 4y^2 = 21 \]

   
   

   \[ 8y^2 - 8y + 3 = 21 \]

   
   


5. Перенесем все в левую часть:
   

   \[ 8y^2 - 8y + 3 - 21 = 0 \]

   
   

   \[ 8y^2 - 8y - 18 = 0 \]

   
   


6. Разделим все на 2 для упрощения:
   

   \[ 4y^2 - 4y - 9 = 0 \]

   
   


7. Решим квадратное уравнение для y с помощью дискриминанта:
   

   $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 4 \times (-9) = 16 + 144 = 160$$

   
   

   $$\sqrt{D} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = 4\sqrt{10}$$

   
   


8. Найдем значения y:
   

   \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 4\sqrt{10}}{2 \times 4} = \frac{4(1 \pm \sqrt{10})}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{2} \]

   
   
   • $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}$$
   • $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2}$$
   
   


9. Найдем соответствующие значения x, подставляя y в уравнение $$x = 3 - 2y$$:
   
   • Для $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}$$:
     

     \[ x_1 = 3 - 2\left(\frac{1 + \sqrt{10}}{2}\right) = 3 - (1 + \sqrt{10}) = 3 - 1 - \sqrt{10} = 2 - \sqrt{10} \]

     
     
   • Для $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2}$$:
     

     \[ x_2 = 3 - 2\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{2}\right) = 3 - (1 - \sqrt{10}) = 3 - 1 + \sqrt{10} = 2 + \sqrt{10} \]

     
     
   
   

Ответ: Система имеет два решения:

1. $$x = 2 - \sqrt{10}$$, $$y = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}$$

2. $$x = 2 + \sqrt{10}$$, $$y = \frac{1 - \sqrt{10}}{2}$$