B2. Вычислите длину отрезка KL.

Пусть $$a$$ - длина ребра куба. Тогда $$AK = \frac{1}{4}a$$ и $$DL = \frac{1}{3}a$$. Проведем прямую $$KM \parallel AD$$, где $$M$$ лежит на $$DD_1$$. Тогда $$DM = AK = \frac{1}{4}a$$, и $$LM = DL - DM = \frac{1}{3}a - \frac{1}{4}a = \frac{1}{12}a$$. Также $$KM = AD = a$$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$KLM$$. По теореме Пифагора: $$KL = \sqrt{KM^2 + LM^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{1}{12}a)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{1}{144}a^2} = \sqrt{\frac{145}{144}a^2} = \frac{a\sqrt{145}}{12}$$ Ответ: $$\frac{a\sqrt{145}}{12}$$