б) sin(x/3 + π/6) = 1/2

Решение:

Уравнение вида \( \sin t = a \), где \( t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \) и \( a = \frac{1}{2} \).

1. Общее решение для \( \sin t = a \) имеет вид: \( t = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. В нашем случае \( \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \).
3. Значит, \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
4. Рассмотрим два случая:
• Случай 1 (когда \( n \) четное, \( n = 2k \)): \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{3} = 2\pi k \)
• \( x = 6\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
• Случай 2 (когда \( n \) нечетное, \( n = 2k + 1 \)): \( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) \)
• \( \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi \)
• \( \frac{x}{3} = -\frac{2\pi}{6} + \pi + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \)
• \( x = 2\pi + 6\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = 6\pi k \) или \( x = 2\pi + 6\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).