B) {log₁/₃ x+log₁/₃ y=2, г) {lg (x²+y²)=1+lg 13, log₁/₃ x-log₁/₃ y=4; lg (x+y)=1g (x-y)+lg 8.

B) Решим систему уравнений:

• $$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} y = 2 \\ \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} y = 4 \end{cases}$$
• Преобразуем систему уравнений, используя свойство логарифмов:$$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (xy) = 2 \\ \log_{\frac{1}{3}} (\frac{x}{y}) = 4 \end{cases}$$
• Преобразуем первое уравнение системы, используя определение логарифма: $$xy = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$$.
• Преобразуем второе уравнение системы, используя определение логарифма: $$\frac{x}{y} = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$$.
• Получим систему уравнений:$$\begin{cases} xy = \frac{1}{9} \\ \frac{x}{y} = \frac{1}{81} \end{cases}$$
• Выразим x через y из второго уравнения: $$x = \frac{y}{81}$$.
• Подставим значение x в первое уравнение системы: $$\frac{y}{81} \cdot y = \frac{1}{9}$$; $$y^2 = \frac{81}{9} = 9$$; $$y = \pm 3$$. Так как в системе есть логарифмы, то y должен быть положительным. Поэтому $$y = 3$$.
• Найдем x: $$x = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$$.
• Сделаем проверку, подставив значения x и y в исходную систему:$$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{27}) + \log_{\frac{1}{3}} (3) = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^3) + \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-1}) = 3 + (-1) = 2 \\ \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{27}) - \log_{\frac{1}{3}} (3) = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^3) - \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-1}) = 3 - (-1) = 4 \end{cases}$$

Ответ: $$x = \frac{1}{27}, y = 3$$

г) Решим систему уравнений:

• $$\begin{cases} \lg (x^2+y^2) = 1 + \lg 13 \\ \lg (x+y) = \lg (x-y) + \lg 8 \end{cases}$$
• Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство логарифмов: $$\lg (x^2+y^2) = \lg 10 + \lg 13 = \lg (10 \cdot 13) = \lg 130$$. Следовательно, $$x^2+y^2 = 130$$.
• Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство логарифмов: $$\lg (x+y) = \lg (8(x-y))$$. Следовательно, $$x+y = 8(x-y)$$; $$x+y = 8x - 8y$$; $$9y = 7x$$; $$x = \frac{9y}{7}$$.
• Получим систему уравнений:$$\begin{cases} x^2+y^2 = 130 \\ x = \frac{9y}{7} \end{cases}$$
• Подставим значение x в первое уравнение системы: $$(\frac{9y}{7})^2 + y^2 = 130$$; $$\frac{81y^2}{49} + y^2 = 130$$; $$\frac{81y^2 + 49y^2}{49} = 130$$; $$130y^2 = 130 \cdot 49$$; $$y^2 = 49$$; $$y = \pm 7$$.
• Найдем x: $$x = \frac{9 \cdot 7}{7} = 9$$ или $$x = \frac{9 \cdot (-7)}{7} = -9$$.
• Так как в системе есть выражение $$\lg (x-y)$$, то $$x-y > 0$$. Следовательно, решение $$x = -9, y = -7$$ не подходит.
• Сделаем проверку, подставив значения x и y в исходную систему:$$\begin{cases} \lg (9^2+7^2) = \lg (81+49) = \lg (130) = 1 + \lg 13 \\ \lg (9+7) = \lg 16; \lg (9-7) + \lg 8 = \lg 2 + \lg 8 = \lg (2 \cdot 8) = \lg 16 \end{cases}$$

Ответ: $$x = 9, y = 7$$