АЗ. Точка О удалена от вершин прямоугольного треугольника АВС с катетами АВ = 8 см и АС=15 см на расстояние √410 2 см. Найдите расстояние от точки О до плоскости ABC. 1) 5,5 см 2) 8 см 3) 9 см 4) 4 см

Пусть точка O удалена от вершин прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = 8 см и AC = 15 см на расстояние$$\frac{\sqrt{410}}{2}$$ см.

Нужно найти расстояние от точки O до плоскости ABC.

Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то основание перпендикуляра, опущенного из точки О на плоскость треугольника АВС, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Так как треугольник АВС прямоугольный, то центр описанной окружности находится на середине гипотенузы.

Гипотенуза BC может быть найдена по теореме Пифагора:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$

$$BC = \sqrt{289} = 17$$ см.

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$$R = \frac{BC}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$$ см.

Пусть О₁ — основание перпендикуляра, опущенного из О на плоскость треугольника ABC. Тогда AO₁ — искомое расстояние от точки О до плоскости ABC. Треугольник OA₁O является прямоугольным, OA — гипотенуза, AO₁ — катет, OO₁ — искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник OAO₁. По теореме Пифагора:

$$OA^2 = OO_1^2 + AO_1^2$$

$$OO_1 = \sqrt{OA^2 - AO_1^2}$$

Мы знаем, что OA = $$\frac{\sqrt{410}}{2}$$, AO₁ = R = 8,5 = $$\frac{17}{2}$$

$$OO_1 = \sqrt{(\frac{\sqrt{410}}{2})^2 - (\frac{17}{2})^2} = \sqrt{\frac{410}{4} - \frac{289}{4}} = \sqrt{\frac{121}{4}} = \frac{11}{2} = 5,5$$ см.

Ответ: 1) 5,5 см