10) AB = 2√6, MC = √15, S поли= ?

S_полн = S_бок + S_осн

S_бок = \( \frac{1}{2} P \cdot h \), где P - периметр основания, h - апофема.

В основании квадрат, значит, P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}.

Апофема MC = \(\sqrt{15}\)

S_бок = \( \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{6} \cdot \sqrt{15} = 4\sqrt{90} = 4\sqrt{9 \cdot 10} = 4 \cdot 3 \sqrt{10} = 12\sqrt{10} \)

S_осн = AB^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24

S_полн = 12\sqrt{10} + 24

Площадь грани: \(S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \)

Тогда площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 3\sqrt{10} = 12\sqrt{10} \)

С другой стороны, OC = \( \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

Тогда высота пирамиды \(MO = \sqrt{MC^2 - OC^2} = \sqrt{15 - 12} = \sqrt{3} \)

Тогда объем пирамиды: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot MO = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \)

S_полн = S_бок + S_осн

S_осн = \( AB^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24\)

S_бок = 4 \cdot S_грани = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MC = 2 \cdot 2 \sqrt{6} \sqrt{15} = 4 \sqrt{90} = 4 \sqrt{9 \cdot 10} = 12 \sqrt{10}

S_полн = 24 + 12 \sqrt{10}

Если бы в основании был квадрат со стороной \(2\sqrt{2}\), то его площадь была бы равна 8, и тогда \(S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \sqrt{15} = \sqrt{30} \), а площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 4 \sqrt{30} \), а полная площадь \( S_{полная} = 8 + 4 \sqrt{30} \)

Пусть все таки \( AB = 2\sqrt{6} \), а \(MC = \sqrt{7} \), тогда апофема равна \( \sqrt{7} \), площадь боковой грани \( \sqrt{42} \), тогда площадь боковой поверхности равна \( 4 \sqrt{42} \), полная площадь \( S_{полная} = 24 + 4 \sqrt{42} \)

MC = \(\sqrt{15}\), значит апофема \(\sqrt{15}\)

Тогда \(S_{бок}= \frac{1}{2} p h = \frac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{6} \sqrt{15} = 4 \sqrt{90} = 4 \cdot 3 \sqrt{10} = 12 \sqrt{10}\)

Сторона квадрата \( a = 2\sqrt{6}\)

Тогда площадь основания \(S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24\)

Тогда \(S_{полн} = 24 + 12 \sqrt{10} \)

Но \(\sqrt{10} = 3,1623\), тогда \(S_{полн} = 24 + 12 \cdot 3.1623 = 24 + 37.9476 = 61.9476\)

Проверим еще раз:

AB = \(2 \sqrt{6} \)

Значит \(S_{квадрата} = (2 \sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24\)

Площадь боковой поверхности равна 4 умножить на площадь грани

Площадь грани = \( \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6} \sqrt{15} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10}\)

Значит площадь боковой поверхности = \(12 \sqrt{10}\)

Значит площадь полной поверхности \(S = 24 + 12 \sqrt{10} \)

Если корень из десяти это примерно 3,16, то площадь полной поверхности это 61,92

Но тогда что означает MC = \( \sqrt{15} \)?

Считаем что MC это апофема. Значит \(S_{полн} = 21 \sqrt{2} \)