А9. Вычислите предел функции \(\lim_{x\to\infty} \frac{5x^3-x}{2x^3+x^2+1}\)

Решение:

Чтобы вычислить предел при \( x \to \infty \), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), то есть на \( x^3 \):

\( \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{5x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \lim_{x\to\infty} \frac{5 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}} \)

Когда \( x \to \infty \), дроби \( \frac{1}{x^2} \), \( \frac{1}{x} \) и \( \frac{1}{x^3} \) стремятся к нулю.

\( \frac{5 - 0}{2 + 0 + 0} = \frac{5}{2} \)

Ответ: 2) \(\frac{5}{2}\)