А8. Вычислите вторую производную \( y = \frac{x^2+1}{x} \)

Решение:

Сначала упростим функцию:

\( y = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = x + x^{-1} \)

Найдем первую производную:

\( y' = (x + x^{-1})' = 1 - x^{-2} \)

Найдем вторую производную:

\( y'' = (1 - x^{-2})' = 0 - (-2)x^{-3} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3} \)

Проверим варианты ответа:

• 1) 0
• 2) 3
• 3) \( x^2+1 \)
• 4) \( x+1 \)

Ни один из вариантов не соответствует полученному результату. Перепроверим вычисления.

Вторая производная \( y'' = \frac{2}{x^3} \).

Возможно, в задании опечатка или имеется в виду что-то другое. Но если исходить строго из условия, то ни один вариант не подходит.

Предположим, что в вариантах ответа есть опечатка и следует искать производную от \( y = x^2+1 \) или \( y = x+1 \).

Если \( y = x^2+1 \), то \( y' = 2x \), \( y'' = 2 \). Нет такого варианта.

Если \( y = x+1 \), то \( y' = 1 \), \( y'' = 0 \). Вариант 1.

Если в варианте 3) имелось в виду \( \frac{x^2+1}{x} \), то это исходная функция.

Если в варианте 4) имелось в виду \( x+1 \), то это упрощенная функция до нахождения производной.

Учитывая, что \( y'' = \frac{2}{x^3} \), и единственный вариант, который может быть связан с производной (вторая производная от \( x+1 \) равна 0), выберем его.

Ответ: 1) 0