А5. Колебательный контур с периодом колебаний 1 мкс имеет индуктивность 0,2 мГн и активное сопротивление 2 Ом. На сколько процентов уменьшается энергия этого контура за время одного колебания? (Потерями энергии на излучение можно пренебречь.)

Дано:

• Период колебаний (T) = 1 мкс = 1 × 10⁻⁶ с
• Индуктивность (L) = 0.2 мГн = 0.2 × 10⁻³ Гн
• Активное сопротивление (R) = 2 Ом

Найти: Процент уменьшения энергии за одно колебание.

Решение:

Энергия колебательного контура уменьшается из-за потерь на активном сопротивлении (Джоулевы потери).

Мощность потерь в цепи с сопротивлением R равна:

P_loss = I²R

где I — действующее значение силы тока в контуре.

Энергия, рассеиваемая за одно колебание (ΔE), равна мощности потерь, умноженной на период колебаний:

ΔE = P_loss × T = I²R × T

Максимальная энергия в колебательном контуре (E_max) равна:

E_max = (1/2)LI₀² = (1/2)CV₀²

где I₀ — амплитуда силы тока, V₀ — амплитуда напряжения.

Действующее значение силы тока (I) в гармонических колебаниях связано с амплитудой (I₀) соотношением:

I = I₀ / √2

Тогда I² = I₀² / 2.

Таким образом, мощность потерь можно выразить через амплитуду тока:

P_loss = (I₀²/2)R

Энергия, рассеиваемая за одно колебание:

ΔE = (I₀²/2)R × T

Теперь выразим максимальную энергию через амплитуду тока:

E_max = (1/2)LI₀²

Нас интересует процент уменьшения энергии, который равен (ΔE / E_max) × 100%.

Процент уменьшения = [(I₀²/2)R × T] / [(1/2)LI₀²] × 100%

Процент уменьшения = (R × T / L) × 100%

Подставляем значения:

R = 2 Ом

T = 1 × 10⁻⁶ с

L = 0.2 × 10⁻³ Гн

Процент уменьшения = (2 Ом × 1 × 10⁻⁶ с / 0.2 × 10⁻³ Гн) × 100%

Процент уменьшения = (2 × 10⁻⁶ / 0.2 × 10⁻³) × 100%

Процент уменьшения = (10 × 10⁻³) × 100%

Процент уменьшения = 0.01 × 100% = 1%.