А4. Точка движется с постоянной по модулю скоростью по окружности радиуса R. Как изменится центростремительное ускорение точки, если ее скорость увеличить вдвое, а радиус окружности вдвое уменьшить?

Решение:

Центростремительное ускорение \( a_{ц} \) вычисляется по формуле \( a_{ц} = \frac{v^2}{R} \).

Пусть начальная скорость равна \( v_1 \) и начальный радиус равен \( R_1 \). Тогда начальное ускорение \( a_{ц1} = \frac{v_1^2}{R_1} \).

По условию, новая скорость \( v_2 = 2v_1 \), а новый радиус \( R_2 = \frac{R_1}{2} \).

Новое центростремительное ускорение \( a_{ц2} \) будет:

\[ a_{ц2} = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{(2v_1)^2}{\frac{R_1}{2}} = \frac{4v_1^2}{\frac{R_1}{2}} = 4v_1^2 \cdot \frac{2}{R_1} = 8 \frac{v_1^2}{R_1} \]

Таким образом, \( a_{ц2} = 8 a_{ц1} \).

Центростремительное ускорение увеличится в 8 раз.

Ответ: 4) увеличится в 8 раз