А10. Решите неравенство (1/2)^(4x) < (1/8)^4

Решение:

Нужно решить показательное неравенство \( \left( \frac{1}{2} \right)^{4x} < \left( \frac{1}{8} \right)^4 \).

1. Приведём обе части неравенства к одному основанию. Удобно взять основание \( \frac{1}{2} \).
2. Заметим, что \( \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \).
3. Тогда \( \left( \frac{1}{8} \right)^4 = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{3 \cdot 4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{12} \).
4. Неравенство примет вид: \( \left( \frac{1}{2} \right)^{4x} < \left( \frac{1}{2} \right)^{12} \).
5. Поскольку основание степени \( \frac{1}{2} \) меньше 1, при раскрытии неравенства нужно сменить знак на противоположный: \( 4x > 12 \).
6. Делим обе части на 4: \( x > \frac{12}{4} \), \( x > 3 \).

Область решения неравенства — интервал \( (3; +\infty) \).

Ответ: (3;+∞)