а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырехугольник ромб.

а) Рисунок к задаче:

Нарисуем прямоугольник ABCD. Отметим середины сторон AB, BC, CD и DA как E, F, G и H соответственно. Соединим точки E, F, G и H последовательно.

б) Доказательство:

• Пусть ABCD — данный прямоугольник.
• E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
• Рассмотрим треугольники AEH и BFE. Они прямоугольные и AE = AB/2, AH = AD/2, BF = BC/2, BE = AB/2, CG = CD/2, DG = AD/2, CH = BC/2.
• Так как AD = BC и AB = CD (свойства прямоугольника), то AE = BE = CG = DG и AH = DH = BF = CF.
• Значит, треугольники AEH, BFE, CGF и DHG равны по двум катетам (первый признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что EH = EF = FG = GH, то есть все стороны четырехугольника EFGH равны.
• Таким образом, EFGH — ромб (по определению, четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом).