а) Упростить выражение 1 - sin² α (1 + ctg² α); б) Решить уравнение cos x = 1/2; в) Вычислить -22tg148° / tg32°.

Решение:

а) Упростить выражение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \boldsymbol{1 - \boldsymbol{sin^2}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{=} \boldsymbol{cos^2} \boldsymbol{\alpha} \) и тождество \( \boldsymbol{1 + ctg^2} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{=} \boldsymbol{\frac{1}{\boldsymbol{sin^2}}} \boldsymbol{\alpha} \).

\[ 1 - \boldsymbol{sin^2} \boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{1 + ctg^2} \boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{cos^2} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\frac{1}{\boldsymbol{sin^2}}} \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\frac{cos^2} \boldsymbol{\alpha}}{\boldsymbol{sin^2}} \boldsymbol{\alpha}} = \boldsymbol{ctg^2} \boldsymbol{\alpha} \]

б) Решить уравнение:

Уравнение \( \boldsymbol{cos x = \frac{1}{2}} \) имеет два семейства решений:

\[ x = \boldsymbol{\pm} \boldsymbol{\frac{\pi}{3}} \boldsymbol{+} 2\boldsymbol{\pi} \boldsymbol{k}, \quad \boldsymbol{k} \boldsymbol{\in} \boldsymbol{\mathbb{Z}} \]

в) Вычислить:

Используем формулы приведения и свойства тангенса:

\( \boldsymbol{tg 148° = tg (180° - 32°) = -tg 32°} \)

Подставим в выражение:

\[ \boldsymbol{\frac{-22tg148°}{tg32°}} = \boldsymbol{\frac{-22(-tg32°)}{tg32°}} = \boldsymbol{\frac{22tg32°}{tg32°}} = 22 \]

Ответ: а) ctg² α; б) x = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z; в) 22