А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. UBC : AC = 3 : 4, UAB < 180°, UAC < 180°, ∠BCA = 40°. Чему равен угол ВОС? 1) 160° 2) 60° 3) 120° 4) 80°

Ответ: 120°

• Отношение длин дуг BC и AC равно 3:4. Обозначим UBC = 3x и UAC = 4x.
• Сумма дуг BC, AC и AB составляет полную окружность, то есть 360°. Так как UAB < 180° и UAC < 180°, можем выразить UAB как 360° - (UBC + UAC) = 360° - (3x + 4x) = 360° - 7x.
• ∠BCA опирается на дугу AB и равен половине её градусной меры, то есть ∠BCA = 40° = 1/2 * (360° - 7x).
• Решаем уравнение: 80° = 360° - 7x, следовательно, 7x = 280°, и x = 40°.
• Дуга BC равна 3x = 3 * 40° = 120°. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC, следовательно, ∠BOC = 120°.

Ответ: 120°