Проанализируем каждое предложение на предмет синтаксических ошибок.
- Устав от прогулки по лесу, Нежданов сел на поваленное дерево ветром. — Ошибка в построении предложения с деепричастным оборотом (деепричастный оборот относится к слову «Нежданов», а не к слову «устав»).
- В молодом человеке нас поражала ясность взглядов на жизнь. — Ошибки нет.
- В каждом его движении не только была заметна тревога, но и ожидание. — Ошибки нет.
- В театре можно посмотреть новый спектакль, который находится в центре города. — Ошибки нет.
- Прочитав рукопись, мне стало понятно, что она не лишена недостатков. — Ошибки нет.
Ответ: 1