А1. Решите уравнение: a) \(\frac{x^2-3x+2}{2-x} = 0;\) б) \(x+4=\frac{5}{x};\) в) \(\frac{x}{x+5} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{50}{x^2-25};\)

А1. Решите уравнение:

a) \(\frac{x^2-3x+2}{2-x} = 0\)

1. Преобразуем числитель: \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
2. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\) через дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$
3. Проверим ОДЗ: \(2 - x
   eq 0\), следовательно, \(x
   eq 2\).
4. Корень \(x_1 = 2\) не подходит из-за ОДЗ.
5. Остаётся только корень \(x_2 = 1\).

Ответ: 1

б) \(x+4=\frac{5}{x}\)

1. Умножим обе части уравнения на x (x ≠ 0): \(x(x+4) = 5\)
2. Раскроем скобки: \(x^2 + 4x = 5\)
3. Перенесем все члены в левую часть: \(x^2 + 4x - 5 = 0\)
4. Решим квадратное уравнение: \(x^2 + 4x - 5 = 0\) через дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$
5. Оба корня удовлетворяют условию \(x
   eq 0\).

Ответ: 1; -5

в) \(\frac{x}{x+5} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{50}{x^2-25}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{x(x-5)}{(x+5)(x-5)} + \frac{(x+5)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{50}{(x+5)(x-5)}\)
2. Упростим числитель: \(\frac{x^2 - 5x + x^2 + 10x + 25}{(x+5)(x-5)} = \frac{50}{(x+5)(x-5)}\)
3. Перенесем все в одну сторону: \(\frac{2x^2 + 5x + 25 - 50}{(x+5)(x-5)} = 0\)
4. Упростим числитель: \(\frac{2x^2 + 5x - 25}{(x+5)(x-5)} = 0\)
5. Решим квадратное уравнение \(2x^2 + 5x - 25 = 0\): $$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225$$ $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$ $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5$$
6. ОДЗ: \(x
   eq \pm 5\). Корень \(x_2 = -5\) не подходит.
7. Остаётся только корень \(x_1 = 2.5\).

Ответ: 2.5