А2. Первый лыжник проходит расстояние 20 км на 20 мин быстрее второго, так как его скорость на 2 км/ч больше. Найдите скорость первого и скорость второго лыжника.

Пусть \(v_1\) - скорость первого лыжника, \(v_2\) - скорость второго лыжника. Тогда \(v_1 = v_2 + 2\). Время, которое тратит первый лыжник: \(t_1 = \frac{20}{v_1}\). Время, которое тратит второй лыжник: \(t_2 = \frac{20}{v_2}\). По условию, первый лыжник тратит на 20 минут меньше, чем второй. 20 минут - это \(\frac{1}{3}\) часа, поэтому \(t_2 - t_1 = \frac{1}{3}\). Подставим все в уравнение: $$\frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_1} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_2+2} = \frac{1}{3}$$ Умножим все на \(3v_2(v_2+2)\): $$60(v_2+2) - 60v_2 = v_2(v_2+2)$$ $$60v_2 + 120 - 60v_2 = v_2^2 + 2v_2$$ $$v_2^2 + 2v_2 - 120 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$$ $$v_{2_1} = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$v_{2_2} = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v_2 = 10\) км/ч. Тогда \(v_1 = v_2 + 2 = 10 + 2 = 12\) км/ч. Ответ: Скорость первого лыжника - 12 км/ч, скорость второго лыжника - 10 км/ч.