А1. Решите уравнение: a) \(\frac{x^2-3x-4}{x+1}=0\); б) \(x + \frac{7}{x} = \frac{8}{x}\); в) \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}\)

Решение уравнения А1

а) \(\frac{x^2-3x-4}{x+1}=0\) Логика такая:

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
2. Находим корни числителя:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] \[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1\] Смотри, тут всё просто:

• Проверяем ОДЗ: \(x
  eq -1\).
• Корень \(x = -1\) не подходит.

Ответ: \(x = 4\)

б) \(x + \frac{7}{x} = \frac{8}{x}\) Разбираемся:

1. Переносим все в одну сторону:

\[x + \frac{7}{x} - \frac{8}{x} = 0\] \[x - \frac{1}{x} = 0\] \[\frac{x^2 - 1}{x} = 0\]

• Числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю:

\[x^2 - 1 = 0\] \[x^2 = 1\] \[x_1 = 1, x_2 = -1\]

• Проверяем ОДЗ: \(x
  eq 0\).
• Оба корня подходят.

Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = -1\)

в) \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}\) Поехали:

1. Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{x(x-2) + (x+2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{x^2-4}\] \[\frac{x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4}{x^2-4} = \frac{8}{x^2-4}\] \[\frac{2x^2 + 2x + 4}{x^2-4} = \frac{8}{x^2-4}\]

• Переносим все в одну сторону:

\[\frac{2x^2 + 2x + 4 - 8}{x^2-4} = 0\] \[\frac{2x^2 + 2x - 4}{x^2-4} = 0\]

• Числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю:

\[2x^2 + 2x - 4 = 0\] \[x^2 + x - 2 = 0\] \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

• Проверяем ОДЗ: \(x
  eq \pm 2\).
• Корень \(x = -2\) не подходит.

Ответ: \(x = 1\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что корни числителя не обращают знаменатель в ноль.

База: Уравнения с дробями сводятся к решению обычных уравнений после приведения к общему знаменателю и учета ОДЗ.