286. а) Из пунктов А и В навстречу друг другу, велосипедист и бегун встретились через 30 минут. За сколько минут бегун преодолеет расстояние между пунктами, если велосипедисту для этого потребуется 45 минут? б) Начав движение одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу, велосипедист и бегун встретились через 24 минуты. За сколько минут велосипедист преодолеет расстояние между пунктами, если бегуну для этого потребуется 1 час 12 минут?

a) Пусть расстояние между пунктами равно S. Пусть скорость велосипедиста v₁, скорость бегуна v₂. Тогда можем записать:

$$30(v_1 + v_2) = S$$

$$45v_1 = S$$

Выразим v₁ через S:

$$v_1 = \frac{S}{45}$$

Подставим в первое уравнение:

$$30(\frac{S}{45} + v_2) = S$$

$$\frac{30S}{45} + 30v_2 = S$$

$$30v_2 = S - \frac{30S}{45}$$

$$30v_2 = \frac{45S - 30S}{45}$$

$$30v_2 = \frac{15S}{45}$$

$$v_2 = \frac{15S}{45 \cdot 30} = \frac{S}{90}$$

Тогда бегун преодолеет расстояние S за время:

$$t = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{\frac{S}{90}} = 90 \text{ минут}$$

б) Аналогично, пусть расстояние между пунктами равно S. Пусть скорость велосипедиста v₁, скорость бегуна v₂. Тогда можем записать:

$$24(v_1 + v_2) = S$$

$$72v_2 = S \text{ (1 час 12 минут = 72 минуты)}$$

Выразим v₂ через S:

$$v_2 = \frac{S}{72}$$

Подставим в первое уравнение:

$$24(v_1 + \frac{S}{72}) = S$$

$$24v_1 + \frac{24S}{72} = S$$

$$24v_1 = S - \frac{24S}{72}$$

$$24v_1 = \frac{72S - 24S}{72}$$

$$24v_1 = \frac{48S}{72}$$

$$v_1 = \frac{48S}{72 \cdot 24} = \frac{S}{36}$$

Тогда велосипедист преодолеет расстояние S за время:

$$t = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{\frac{S}{36}} = 36 \text{ минут}$$

Ответ: а) 90 минут; б) 36 минут