287. а) Два мотоциклиста выехали одновременно с одинаковой скоростью из пункта А в пункт В, находящимися друг от друга на расстоянии 100 км. Через 30 мин после начала движения у одного из них случился прокол и ему пришлось остановиться для замены колеса. Потратив на это 15 мин, он продолжил движение, увеличив первоначальную скорость на 10 км/час. и прибыл в пункт В одновременно с мотоциклистом, двигавшимся без остановок. За сколько часов они преодолели путь из А в В?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $$v$$ – первоначальная скорость мотоциклистов (км/ч); $$t$$ – время в пути до пункта В (часы). Первый мотоциклист ехал 0.5 часа со скоростью $$v$$, затем 0.25 часа стоял, а потом ехал время $$t-0.5-0.25 = t-0.75$$ со скоростью $$v+10$$. Второй мотоциклист ехал все время $$t$$ со скоростью $$v$$. Запишем уравнение движения для каждого мотоциклиста: $$0.5v + (t-0.75)(v+10) = 100$$ $$tv = 100$$ Подставим $$tv=100$$ в первое уравнение: $$0.5v + tv - 0.75v + 10t - 7.5 = 100$$ $$0.5v + 100 - 0.75v + 10t - 7.5 = 100$$ $$-0.25v + 10t = 7.5$$ $$10t = 7.5 + 0.25v$$ $$t = 0.75 + 0.025v$$ Теперь подставим $$t = 0.75 + 0.025v$$ во второе уравнение $$tv=100$$: $$(0.75 + 0.025v)v = 100$$ $$0.025v^2 + 0.75v - 100 = 0$$ Умножим на 40 для упрощения: $$v^2 + 30v - 4000 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 30^2 - 4(-4000) = 900 + 16000 = 16900$$ $$\sqrt{D} = 130$$ $$v_1 = \frac{-30 + 130}{2} = \frac{100}{2} = 50$$ $$v_2 = \frac{-30 - 130}{2} = -80$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной). Итак, $$v = 50$$ км/ч. Тогда $$t = \frac{100}{v} = \frac{100}{50} = 2$$ часа. Ответ: 2 часа