А 12. (1 балл) В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 6, cos A = 3/5. Найдите высоту СН.

Решение:

Треугольник АВС — равнобедренный, так как АС = ВС. Угол А = Угол В. Нам дан \( \cos A = \frac{3}{5} \).

1. Найдём \( \sin A \): \( \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
2. В прямоугольном треугольнике АНС (где СН — высота), \( \sin A = \frac{CH}{AC} \).
3. Так как \( AC = BC \), и \( AB = 6 \), а \( \cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5} \) и \( \sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{4}{5} \), нам нужно найти длину АС.
4. По теореме косинусов для треугольника АВС: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos A \). Так как \( BC = AC \), имеем: \( AC^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{3}{5} \).
5. \( AC^2 = 36 + AC^2 - \frac{36}{5} AC \).
6. \( 0 = 36 - \frac{36}{5} AC \).
7. \( \frac{36}{5} AC = 36 \).
8. \( AC = \frac{36 \cdot 5}{36} = 5 \).
9. Теперь найдём высоту СН: \( CH = AC \sin A = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4 \).

Ответ: 4.