#63_ДЗ Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Решение #63

Обозначим катеты прямоугольного треугольника за a = 6 и b = 8.

Площадь основания призмы (прямоугольного треугольника) равна половине произведения его катетов:

\[S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\]

Гипотенуза основания:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}\]

Отсюда:

\[S_{бок} = S_{полн} - 2S_{осн} = 288 - 2 \cdot 24 = 288 - 48 = 240\]

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы h:

\[S_{бок} = (a + b + c)h\]

Тогда высота призмы:

\[h = \frac{S_{бок}}{a + b + c} = \frac{240}{6 + 8 + 10} = \frac{240}{24} = 10\]

Ответ: 10

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденная высота приводит к заданной площади поверхности призмы. Подставь найденное значение высоты обратно в формулу площади полной поверхности.

Читерский прием: Если в задаче даны площади и нужно найти линейные размеры, часто помогает выразить всё через переменные и составить уравнение.