№ 9В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 10, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√3.

Решение:

Трапеция \( ABCD \) прямоугольная, \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \). Основания \( AD \) и \( BC \).

Диагональ \( BD = 10 \). \( \angle A = 45^{\circ} \). Меньшее основание \( BC = 5\sqrt{3} \).

Так как \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \), то \( \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, треугольник \( ABD \) равнобедренный с \( AB = AD \).

Однако, в условии сказано, что \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \). В прямоугольной трапеции углы при одном из боковых сторон (неперпендикулярных основаниям) равны. Если \( AB \) — боковая сторона, то \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \) и \( \angle D + \angle C = 180^{\circ} \).

Если \( \angle A = 90^{\circ} \), а \( \angle D = 90^{\circ} \), то это прямоугольник. Но угол \( A = 45^{\circ} \) дан в условии, что противоречит прямому углу \( A = 90^{\circ} \) в прямоугольной трапеции, если \( AB \) перпендикулярно основаниям.

Предположим, что \( AD \) и \( BC \) — основания, \( AB \) и \( CD \) — боковые стороны. Углы при основании \( AD \) равны \( \angle A \) и \( \angle D \). Углы при основании \( BC \) равны \( \angle B \) и \( \angle C \). В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне равен \( 90^{\circ} \). Пусть \( \angle DAB = 90^{\circ} \) и \( \angle ADC = 90^{\circ} \).

В условии сказано, что \( \angle A = 45^{\circ} \). Это возможно, если \( AD \) и \( BC \) — основания, а \( CD \) — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \). Угол \( A \) может быть \( 45^{\circ} \) или \( 135^{\circ} \).

Рассмотрим случай, когда \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \). Тогда \( CD \) — перпендикулярное основание. \( AD \) и \( BC \) — основания. \( BC \) — меньшее основание \( BC = 5\sqrt{3} \). \( CD \) — большая боковая сторона.

Из \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), \( CD \) перпендикулярно \( AD \) и \( BC \).

В треугольнике \( BCD \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( BD = 10 \), \( BC = 5\sqrt{3} \).

Найдем \( CD \) по теореме Пифагора: \( BD^2 = BC^2 + CD^2 \).

\[ 10^2 = (5\sqrt{3})^2 + CD^2 \]

\[ 100 = 25 · 3 + CD^2 \]

\[ 100 = 75 + CD^2 \]

\[ CD^2 = 100 - 75 = 25 \]

\[ CD = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь рассмотрим \( \angle A = 45^{\circ} \). В прямоугольной трапеции \( ABCD \) с \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), проведем высоту \( BH \) из \( B \) на \( AD \). Тогда \( BH = CD = 5 \) и \( HD = BC = 5\sqrt{3} \). В прямоугольном треугольнике \( ABH \), \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle AHB = 90^{\circ} \). Значит \( \angle ABH = 45^{\circ} \).

Треугольник \( ABH \) равнобедренный, \( AB = BH = 5 \). Тогда \( AD = AH + HD = AB + HD = 5 + 5\sqrt{3} \).

Большая боковая сторона — \( AD \) или \( CD \)?

В этом случае \( CD = 5 \) и \( AB = 5 \). \( AD = 5 + 5\sqrt{3} \). \( 5\sqrt{3} \approx 5 · 1.732 = 8.66 \). \( AD \approx 5 + 8.66 = 13.66 \).

Большая боковая сторона — \( AD \). Но \( AD \) — основание.

В прямоугольной трапеции боковые стороны — это \( AB \) и \( CD \), если \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \). Тогда \( AD \) и \( BC \) — основания.

Дано: \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle D = 90^{\circ} \). Это значит, что \( CD \) перпендикулярно \( AD \) и \( BC \). \( CD \) — боковая сторона. \( AD \) и \( BC \) — основания. \( BC \) — меньшее основание \( BC = 5\sqrt{3} \).

Из \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \) (т.к. трапеция прямоугольная, а \( CD \) перпендикулярна основаниям), \( BD = 10 \).

В прямоугольном треугольнике \( BCD \), \( CD = \sqrt{BD^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 - 75} = \sqrt{25} = 5 \).

Теперь рассмотрим \( \angle A = 45^{\circ} \). Проведём высоту \( BH \) из \( B \) на \( AD \). Тогда \( BH = CD = 5 \) и \( HD = BC = 5\sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике \( ABH \), \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle AHB = 90^{\circ} \). Значит, \( \angle ABH = 45^{\circ} \).

Треугольник \( ABH \) равнобедренный, \( AB = BH = 5 \). \( AB \) — боковая сторона.

Боковые стороны — \( AB = 5 \) и \( CD = 5 \). Однако, \( AD = AH + HD = AB + HD = 5 + 5\sqrt{3} \).

Если \( AD \) — большее основание, \( BC \) — меньшее основание, \( AB \) и \( CD \) — боковые стороны. Углы при основании \( AD \) — \( \angle A \) и \( \angle D \). Углы при основании \( BC \) — \( \angle B \) и \( \angle C \).

Если \( \angle D = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 45^{\circ} \), то \( CD \) — перпендикулярная боковая сторона. \( AB \) — наклонная боковая сторона.

В прямоугольном треугольнике \( ABD \) (с прямым углом \( D \)), \( BD=10 \), \( \angle A=45^{\circ} \). Значит \( \angle ABD = 45^{\circ} \). Треугольник \( ABD \) равнобедренный, \( AD = AB \).

Это противоречит условию, что \( BC \) — меньшее основание.

Вернёмся к случаю, когда \( CD \) перпендикулярно основаниям. \( \angle D = 90^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \).

\( BC = 5\sqrt{3} \) — меньшее основание. \( AD \) — большее основание. \( CD \) — боковая сторона (перпендикулярная). \( AB \) — боковая сторона (наклонная).

\( BD = 10 \). В \( \triangle BCD \) (прямоугольный), \( CD = 5 \).

Из \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \). Проведём высоту \( BH \) из \( B \) на \( AD \). \( BH = CD = 5 \). \( HD = BC = 5\sqrt{3} \). \( AD = AH + HD \).

В \( \triangle ABH \), \( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle AHB = 90^{\circ} \). \( BH = 5 \). \( AH = BH / \tan(45^{\circ}) = 5 / 1 = 5 \).

\( AD = AH + HD = 5 + 5\sqrt{3} \).

Боковые стороны: \( CD = 5 \) и \( AB = BH / \sin(45^{\circ}) = 5 / (1/\sqrt{2}) = 5\sqrt{2} \).

Сравним боковые стороны: \( CD = 5 \) и \( AB = 5\sqrt{2} \). \( 5\sqrt{2} ≈ 5 · 1.414 = 7.07 \).

Большая боковая сторона — \( AB = 5\sqrt{2} \).

Ответ: 5√2