№ 8. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 7.

Решение:

Пусть \( AM \) — биссектриса \( \angle DAB \), а \( DM \) — биссектриса \( \angle ADC \). Точка \( M \) лежит на стороне \( BC \).

Так как \( AD \parallel BC \) и \( AM \) — биссектриса \( \angle DAB \), то \( \angle BAM = \angle DAM \).

Так как \( AD \parallel BC \) и \( AM \) — секущая, то \( \angle DAM = \angle AMB \) (накрест лежащие углы). Следовательно, \( \angle BAM = \angle AMB \). Это означает, что треугольник \( ABM \) равнобедренный с \( AB = BM \).

Аналогично, так как \( AD \parallel BC \) и \( DM \) — биссектриса \( \angle ADC \), то \( \angle ADM = \angle CDM \).

Так как \( AD \parallel BC \) и \( DM \) — секущая, то \( \angle ADM = \angle DMC \) (накрест лежащие углы). Следовательно, \( \angle CDM = \angle DMC \). Это означает, что треугольник \( DMC \) равнобедренный с \( CD = MC \).

В параллелограмме \( AB = CD \) и \( AD = BC = BM + MC \).

Из равенств \( AB = BM \) и \( CD = MC \) следует, что \( AD = AB + CD \).

Поскольку \( AB = CD \), то \( AD = 2 · AB \).

Дано, что \( AB = 7 \). Следовательно, \( AD = 2 · 7 = 14 \).

Периметр параллелограмма \( P = 2(AB + AD) \).

\[ P = 2(7 + 14) = 2 · 21 = 42 \]

Ответ: 42