98. Докажите, что: a) если ab + c² = 0, то (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = ab - c²; 6) если a + b = 9, то (a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 2(a + b).

Решение:

a) Рассмотрим выражение \( (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) \).

Раскроем скобки:

\[ (ab + ac + bc + c^2) + (ab - ac - bc + c^2) \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ ab + ac + bc + c^2 + ab - ac - bc + c^2 = 2ab + 2c^2 \]

Это не равно \( ab - c^2 \). Проверим условие. Если \( ab + c^2 = 0 \), то \( ab = -c^2 \).

Подставим \( ab = -c^2 \) в полученное выражение:

\[ 2(-c^2) + 2c^2 = -2c^2 + 2c^2 = 0 \]

Таким образом, если \( ab + c^2 = 0 \), то \( (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 0 \). А \( ab - c^2 = -c^2 - c^2 = -2c^2 \). Это означает, что равенство \( (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = ab - c^2 \) при условии \( ab + c^2 = 0 \) неверно.

Перепроверим само выражение:

\[ (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = ab + ac + bc + c^2 + ab - ac - bc + c^2 = 2ab + 2c^2 \]

Теперь правая часть: \( ab - c^2 \).

Условие: \( ab + c^2 = 0 \), значит \( ab = -c^2 \).

Подставим \( ab \) в правую часть: \( -c^2 - c^2 = -2c^2 \).

Подставим \( ab \) в левую часть: \( 2(-c^2) + 2c^2 = -2c^2 + 2c^2 = 0 \).

Таким образом, \( 0 = -2c^2 \). Это верно только при \( c=0 \). Если \( c=0 \), то \( ab = 0 \). Если \( c=0 \) и \( ab=0 \), то \( (a+0)(b+0)+(a-0)(b-0) = ab+ab = 2ab \). Правая часть \( ab - 0^2 = ab \). Если \( ab=0 \), то \( 2ab=0 \) и \( ab=0 \). Тогда равенство \( 0 = 0 \) верно.

Вывод: утверждение верно только при \( c=0 \) и \( ab=0 \). Без этого условия оно неверно.

б) Рассмотрим выражение \( (a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) \).

Раскроем скобки:

\[ (ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1) \]

\[ ab + a + b + 1 - ab + a + b - 1 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ (ab - ab) + (a + a) + (b + b) + (1 - 1) = 0 + 2a + 2b + 0 = 2a + 2b \]

Вынесем общий множитель 2:

\[ 2(a + b) \]

По условию \( a + b = 9 \). Подставим это значение:

\[ 2(9) = 18 \]

Таким образом, \( (a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 2(a + b) = 18 \).

Ответ: а) Утверждение верно только при c=0 и ab=0. б) Равенство доказано, значение равно 18.