797. Докажите, что если b + c = 10, то (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc. Воспользовавшись этой формулой, вычислите: a) 23 · 27; 6) 42 · 48; в) 59 · 51; г) 8.

Решение:

Доказательство:

Рассмотрим левую часть равенства:

\[ (10a + b)(10a + c) = (10a)^2 + 10ac + 10ab + bc = 100a^2 + 10a(b + c) + bc \]

По условию \( b + c = 10 \). Подставим это значение:

\[ 100a^2 + 10a(10) + bc = 100a^2 + 100a + bc \]

Вынесем \( 100a \) за скобки:

\[ 100a(a + 1) + bc \]

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Вычисление:

a) 23 · 27

Представим как \( (25 - 2)(25 + 2) \). Здесь \( a = 25 \), \( b = -2 \), \( c = 2 \). Но проще представить как \( (20 + 3)(20 + 7) \) или \( (25-2)(25+2) \). Используем формулу \( (10a+b)(10a+c) \) в другом виде: \( (X+b)(X+c)=X^2+X(b+c)+bc \). Пусть \( X = 25 \).

\[ 23 · 27 = (25 - 2)(25 + 2) = 25^2 - 2^2 = 625 - 4 = 621 \]

б) 42 · 48

\[ 42 · 48 = (45 - 3)(45 + 3) = 45^2 - 3^2 = 2025 - 9 = 2016 \]

в) 59 · 51

\[ 59 · 51 = (55 + 4)(55 - 4) = 55^2 - 4^2 = 3025 - 16 = 3009 \]

г) 8

Задание «8» не является примером для вычисления по данной формуле. Вероятно, это либо опечатка, либо отсутствует часть условия.

Ответ: а) 621; б) 2016; в) 3009; г) Задание не является примером для вычисления.