794. Докажите, что: a) a(x + 6) + x(x - 3) = 9 при x = 2a - 3; 6) x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13 при x = a + 3.

Решение:

a) Преобразуем левую часть уравнения:

\[ a(x + 6) + x(x - 3) = ax + 6a + x^2 - 3x \]

Подставим \( x = 2a - 3 \):

\[ a(2a - 3) + 6a + (2a - 3)^2 - 3(2a - 3) \]

\[ 2a^2 - 3a + 6a + (4a^2 - 12a + 9) - 6a + 9 \]

\[ 2a^2 + 3a + 4a^2 - 12a + 9 - 6a + 9 \]

\[ 6a^2 - 15a + 18 \]

Приравняем к 9:

\[ 6a^2 - 15a + 18 = 9 \]

\[ 6a^2 - 15a + 9 = 0 \]

\[ 2a^2 - 5a + 3 = 0 \]

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \).

\[ a_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{4} \]

\[ a_1 = \frac{6}{4} = 1.5, \quad a_2 = \frac{4}{4} = 1 \]

б) Преобразуем левую часть уравнения:

\[ x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = x^2 - 3ax + a^2 + ax + 4 = x^2 - 2ax + a^2 + 4 \]

Это равно \( (x - a)^2 + 4 \).

Подставим \( x = a + 3 \):

\[ ((a + 3) - a)^2 + 4 = (3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13 \]

Левая часть равна 13, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: а) Тождество верно при a = 1.5 и a = 1. б) Тождество доказано.