95. Докажите, что дробь 3762 / 10^3 - 1 сократима.

95. Докажите, что дробь сократима

Вычислим знаменатель: \(10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999\).
Получаем дробь \(\frac{3762}{999}\).
Чтобы доказать, что дробь сократима, нужно найти общий делитель для числителя и знаменателя, отличный от 1.
Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.
Для числителя 3762: \(3 + 7 + 6 + 2 = 18\). Так как 18 делится на 9, то 3762 делится на 9.
Для знаменателя 999: \(9 + 9 + 9 = 27\). Так как 27 делится на 9, то 999 делится на 9.
Так как и числитель, и знаменатель делятся на 9, то дробь \(\frac{3762}{999}\) сократима.

Сокращение дроби:
\(3762 : 9 = 418\)
\(999 : 9 = 111\)
Дробь равна \(\frac{418}{111}\).
Число 111 делится на 3 (\(1+1+1=3\)) и на 37 (\(111 = 3 \times 37\)).
Проверим делимость 418 на 37: \(418 : 37 = 11.29...\[\text{не делится}\ ]\).
Проверим делимость 418 на 3: \(4+1+8 = 13\) (не делится).
Проверим делимость 111 на 37: \(111 / 37 = 3\).
Проверим делимость 418 на 37: \(418 / 37 \ne \text{целое число}\).
Проверим делимость 418 на 3: \(418 / 3 \ne \text{целое число}\).
В задании требуется только доказать, что дробь сократима. Мы это доказали, показав, что оба числа делятся на 9.